Сложение без вычитания

НАУКА / #9_НОЯБРЬ–ДЕКАБРЬ_2024
Текст: Максим ГРЕВЦЕВ / Фото: Университет Бригама Янга, Художественный музей Филадельфии, Oru Kayak, Difold, NASA, Виктория Серова, CFC Origami, AHR Group
На фото: Наноинъектор для ввода ДНК в клетки, созданный по принципам киригами

Часть этикета высшего общества в средневековой Японии, методика обучения детей геометрии в Германии XIX века, настоящее искусство в XX веке — ​история оригами весьма причудлива. Наука обратила внимание на это искусство относительно недавно, и сегодня его влияние ощутимо в медицине, робототехнике, дизайне и даже в космической отрасли. 11 ноября ежегодно отмечается Всемирный день оригами. Мы расскажем о том, как правила складывания бумаги стали важным инструментом в руках инженеров.

1994 год, Париж. На показе весенне-­летней коллекции Иссей Миякэ одна из моделей вышла в платье, ставшем культовым — ​Flying Saucer («Летающая тарелка»). Оно скроено как традиционный японский бумажный фонарик: потяни — ​и плоскость получит объем. К этой идее дизайнер вернулся в 2010 году. В родной Японии он представил коллекцию одежды «132 5». Каждая цифра имеет свое значение: 1 — ​один кусок ткани; 3 — ​трехмерный объект; 2 — ​способность трехмерного объекта сворачиваться в двухмерное состояние; 5 через пробел — ​момент, когда объект превращается в одежду. Как нетрудно догадаться, «король складок» И. Миякэ создал эту коллекцию по принципу оригами.

«132 5» стала возможной благодаря профессору Джуну Митани, преподавателю факультета инженерных и информационных систем Университета Цукуба (Токио): именно его программы позволили И. Миякэ спроектировать платья, юбки и блузы и раскроить их по принципу оригами. Д. Митани давно изучает искусство складывания бумаги: десятки его статей посвящены математическому осмыслению оригами. И это далеко не единственный ученый, изучающий бумажные складки.
11.11
В 1980 году Японская ассоциация оригами объявила 11 ноября Днем оригами. Дата выбрана не случайно: во‑первых, четыре единицы — ​это символ равных сторон квадрата, основы традиционных фигур; а во‑вторых, именно в этот день завершилась Первая мировая вой­на. И хотя бумажный журавлик стал символом мира уже после Второй мировой, японцы увековечили перемирие в том конфликте, где они были на стороне победителей.
От искусства к науке
Оригами попало в поле зрения математиков благодаря Акире Есидзаве (1911−2005), которого называют отцом современного оригами. Это он ввел правило не резать бумагу (многие классические фигуры требовали ножниц), придумал метод мокрого складывания, придающего бумажным фигурам округлые, почти скульптурные формы; создал порядка 50 тыс. моделей, а главное — ​в книге, написанной в 1954 году, использовал систему обозначений для сборки оригами, чуть позже дополненную американцами Сэмюэлем Рэндлеттом и Робертом Харбином. Именно особый язык (схемы с разными типами линий) позволил понять, что складывание бумаги — ​это интересная задача для многих разделов геометрии, теорий алгоритмов, графов и других дисциплин.

Научных статей на эту тему написано так много, что в 1989 году в Италии состоялась Первая международная конференция по науке и технологии оригами. Именно там были представлены семь базовых операций с бумагой, названных в честь ученых, описавших их, аксиомами Хузиты-Жюстина. (Научные форумы проходят до сих пор; теперь они называются Международными конференциями по оригами в науке, математике и образовании. Восьмая такая конференция состоялась в июле 2024 года в Австралии.)

Математическое описание «обычных» складываний позволило в итоге создавать компьютерные программы, не только проектирующие модели оригами, но и решающие вполне утилитарные задачи. Помимо CG и ORI-REVO Д. Митани, есть Origamizer Томохиро Тачи, OrigamiDraw Акиры Терао, JOrigami Эрика Демейна и, конечно, TreeMaker Роберта Лэнга.
Уголок к уголку
В переводе с японского слово «оригами» означает «складывать бумагу». Но в привычном нам значении его стали использовать лишь в конце ХХ века, а до этого оно означало манеру складывать по горизонтали письма и сертификаты подлинности ценных предметов, например, самурайских мечей, гравюр, посуды. Интересно, что внимание японцев к их собственному искусству привлекли европейцы. Немец Фридрих Фребель придумал детские сады и, разрабатывая программу, вспомнил о старой и довольно распространенной в Испании и Германии практике складывания салфеток. Ему показалось, что это отличный способ научить детей основам геометрии и пространственного мышления. В 1875 году первый детский сад появился в Японии, и началось переосмысление полузабытого мастерства складывания бумаги. Тогда-то вместо нескольких терминов («оригата», «оримоно», «орисуэ» и др.) и стали использовать один — «оригами».
Возможно, никто в мире не делает сегодня больше для популяризации оригами, чем Р. Лэнг. Специалист по физике лазеров, в 2001 году он уволился из НАСА, чтобы посвятить себя любимому хобби. На его счету 11 книг, выступление на глобальной конференции TED в 2008 году и коллаборации с научными группами в нескольких университетах. Правда, космос из его жизни не исчез: в 2015 году Национальная лаборатория Лоуренса в Ливерморе обратилась к Р. Лэнгу с просьбой разработать механизм складывания линзы диаметром 100 метров. Такая линза должна была фокусировать свет на объективе орбитального телескопа. Схема сборки была разработана и даже протестирована на 5‑метровом прототипе, но на этом проект Eyeglass остановился: на дальнейшую реализацию пока не выделено финансирование.

Зато другой коммерческий проект состоялся. Немецкий производитель подушек безопасности EASi Engineering решил внедрить компьютерное моделирование для ускорения и удешевления процесса разработки. Эффективность подушек во многом определяется их формой в надутом состоянии. Но для того чтобы найти оптимальную форму и проверить работу подушки, в компьютерную модель нужно заложить ее исходное положение в сложенном виде, а это оказалось весьма сложной задачей. И Р. Лэнг, используя собственную программу TreeMaker и алгоритм, который он назвал универсальной молекулой, сумел представить подушку как набор треугольников, складывающихся и раскладывающихся по принципам оригами.

Кстати, японские специалисты по безопасности тоже обратили внимание на оригами. Они разрабатывают 3D-конструкции, которым предстоит стать наполнителями автомобильных бамперов. Тесты показывают: складываясь по модели перевернутого спирального оригами (RSO), конструкция поглощает на 31,5 % больше энергии, чем обычный бампер. Та же идея легла в основу гидравлических амортизаторов для гашения вибраций промышленного оборудования. Более того, в Японских обществах промышленных и прикладных математиков, а также инженеров-­механиков, в которые входят сотрудники таких гигантов, как Toyota, Nissan, Toshiba, Hitachi, NEC и Canon, появились исследовательские группы по инженерии оригами. Несомненно мастерство складывания бумаги принесет еще немало пользы.

Среди японских инженеров-­оригамистов особого упоминания заслуживает Ичиро Хагивара. Помимо работы над бамперами, он известен своими картонными шлемами — ​они пользуются популярностью у азиатских велосипедистов. Также инженер создал уменьшающуюся в объеме ПЭТ-бутылку; ее оригинальный дизайн привлек внимание производителей не только воды, но и бытовой химии, и парфюмерии.
Портативный каяк и карманная ПЭТ-бутылка
Дизайнеры вдохновляются оригами, создавая простые и функциональные предметы. Например, уменьшающаяся на 85 % бутылка для воды из переработанного пластика или каяк, который может храниться в виде чемоданчика.
Оригами внутри нас
В 2003 году Джонг Ю и Каори Курибаяши из Департамента инженерных наук Оксфорда представили прототип необычного стента, изготовленного из титан-­никелевого сплава с памятью формы на основе оригами-­конструкции «водяная бомбочка». Для нанесения на фольгу схемы складывания ученые использовали метод негативного фотохимического травления. Лабораторные испытания показали: такие стенты подходят для малоинвазивных операций на сосудах, пищеводе и трахее. С подачи исследователей из Оксфорда подобными оригами-­стентами стали заниматься инженеры в Китае и Бразилии.

Однако лидером в сфере медицинского применения оригами, пожалуй, нужно считать Университет Бригама Янга. Он сотрудничает с профессором Р. Лэнгом и уже представил несколько разработок. Одна из них — ​крохотный пинцет; для его проникновения внутрь тела требуется разрез диаметром всего лишь 3 мм. Достигнув нужной точки, пинцет раскрывается и может использоваться для проведения необходимых процедур. Изобретение не осталось на бумаге — оно было лицензировано компанией Intuitive Surgical и применяется в известном хирургическом роботе da Vinci. «Концепция заключается в том, чтобы делать всё более и более маленькие разрезы. С этой целью мы создаем устройства, которые можно вводить через крошечный разрез, а затем использовать внутри тела для выполнения определенной хирургической операции», — ​так объясняет суть своей разработки профессор машиностроения Ларри Хауэлл.

Еще одна инновация — ​игла для введения генетического материала в клетку (авторы используют термин «наноинъектор»). Она создана по принципам киригами (мастерство разрезания листа бумаги). Традиционно для искусственного оплодотворения используется полая игла, из-за этого вместе с ДНК в яйцеклетку попадает жидкость, вследствие чего примерно в 40 % случаев клетка погибает. Площадь поперечного сечения наноинъектора (0,06 мкм2) в 13 раз меньше, чем у обычной иглы (0,78 мкм2), и он не требует введения жидкости. «Поскольку ДНК естественным образом заряжена отрицательно, она притягивается к внешней стороне зонда под действием положительного напряжения. Как только зонд оказывается внутри клетки, мы просто меняем полярность электрического тока, и зонд высвобождает ДНК», — ​объясняет Брайан Дженсен, профессор машиностроения Университета Бригама Янга. Исследования профессора микробиологии из того же университета Сандры Бернетт показали, что при использовании наноинъектора 52,4 % зигот (оплодотворенных яйцеклеток) развились в детенышей (показатель микроинъекций — ​23,9 %).

Интересен и такой медицинский проект, как D-Core, упругий элемент с контактным качением, или, проще — ​D-образный оригами-­шарнир, который можно использовать для замены межпозвоночного диска или иного сустава. Пока ни один такой сустав не был установлен пациенту, однако комплекс лабораторных испытаний показал, что конструкция TDR (тотальная замена диска) восстанавливала амплитуду движений при сгибании-­разгибании и боковом наклоне. Разработку подхватил Александр Слокум из Массачусетского технологического института (МТИ), защитивший диссертацию по теме «Конструкция ортопедического соединения с качающимся контактом». Он разработал оригами-­эндопротезы коленного и тазобедренного суставов, а также усовершенствовал соединения для коленного бандажа.

Там же, в МТИ, Даниэла Рус, директор Лаборатории компьютерных наук и искусственного интеллекта, совместно с коллегами из Университета Шеффилда и Токийского технологического института разработала крошечного робота с большим потенциалом. Пациент глотает капсулу с роботом, в желудке капсула рассасывается, а робот разворачивается. С помощью магнитных полей врачи ведут его в нужное место пищеварительного тракта, где он может, например, захватить проглоченную ребенком батарейку.

В МТИ даже есть клуб оригами — ​OrigaMIT, где студенты и преподаватели учатся мастерству складывания бумаги и разрабатывают новые модели фигурок. Руководит клубом Эрик Демэйн, профессор компьютерных наук, создавший ряд программ для оригамистов и известный своими арт-объектами
Защитный экран Starshade без лепестков во время испытаний
От бумаги к звездам
Одна из главных сфер применения оригами — ​космос. Для его изучения необходимо выводить на орбиту большие устройства, которые не помещаются в ракету, например, солнечные панели или зеркала. Как их сложить на Земле и расправить в космосе? Ответ нашел японский астрофизик Коре Миура. В 1970 году он представил схему складывания, которая сейчас известна как Миура-ори. Японское агентство аэрокосмических исследований приняло идею ученого: в 1995 году на орбиту был выведен спутник Space Flyer Unit с инфракрасной обсерваторией на борту. Огромные солнечные панели были сложены методом К. Миуры. Кстати, схема Миура-ори нашла применение не только в космосе: многим туристам знакомы карты, сложенные именно так — ​стоит растянуть жесткие обложки, и карта раскрывается.

В 2010 году японцы снова прибегли к оригами, на этот раз для сложения первого в мире космического паруса IKAROS. Этот парус, представляющий собой квадрат со стороной 14 метров, был закручен особым образом вокруг оси и благодаря вращению аппарата на орбите раскрылся в космосе.

Сейчас NASA работает над проектом Starshade. Это защитный экран, призванный закрывать орбитальные телескопы от яркого солнечного света. Ученым известны тысячи экзопланет (планет, на которых потенциально возможна жизнь); пока мы «видели» всего несколько, об остальных знаем по вычислениям и другим косвенным признакам. Такие планеты располагаются относительно недалеко от своих солнц, иначе температура на их поверхности была бы слишком низкой для жизни. Но чем ближе объект к звезде, тем сложнее его увидеть: яркость экзопланеты примерно в 1−10 млрд раз ниже, чем солнца, поэтому орбитальный телескоп необходимо закрывать от солнечного света специальным экраном. Одно из решений предложила группа инженеров под руководством Манана Арьи, руководителя Лаборатории трансформации пространственных структур Стэнфорда и большого любителя оригами. Защитный экран скручен по спирали и раскрывается, как цветок (у него есть даже лепестки, их задача — ​создать более мягкую кромку, вызывающую меньшее искривление световых волн). Такие экраны можно совмещать с уже работающими орбитальными телескопами, а новейший широкоугольный обзорный телескоп «Нэнси Грейс Роман» (WFIRST) специально спроектирован для работы с защитным щитом.
Схема складывания фигуры «Герб России», автор — ​В. Серова. Красные линии означают «горы» (выпуклые складки, линия сгиба выступает вверх), синие — ​«долины» (вогнутые складки, линия сгиба обращена вниз), зеленым выделены квадраты, обозначающие клапаны (подвижные элементы модели, которые можно использовать для создания формы, например, крыльев, конечностей, мечей). Правая и левая стороны симметричны
Иллюстрация с сайта Р. Лэнга показывает, насколько усложнилось оригами: внизу — ​традиционный журавлик оризуру, вверху — ​модель, разработанная и созданная Р. Лэнгом с помощью компьютерного моделирования. Обе сложены из одного неразрезанного листа бумаги
Наука создания искусства
Принципы оригами оказались эффективны в инжиниринге, а затем выяснилось, что инжиниринг, в свою очередь, может помочь в моделировании оригами. Многие века фигурки рождались путем проб и ошибок в руках людей. Такое спонтанное проектирование существует и сегодня, но более плодотворными стали новые методы.

«Самый простой из них — ​боксплитинг, он заключается в том, чтобы „раскидать“ по листу в определенном порядке квадраты или прямоугольники, соответствующие откидным клапанам и расстояниям между ними, — ​объясняет Виктория Серова, мастер оригами из Санкт-­Петербурга, чьи работы можно найти в музеях оригами Уругвая и Японии. — ​Именно так я создала герб России. Предварительно рисуется так называемый граф (на схеме помещен в левом верхнем углу. — ​Прим. ред.). На нем определяется, какой длины должны быть клапаны и на каком расстоянии друг от друга располагаться. Вторая „научная“ методика заключается в распределении по листу шестиугольников. Наиболее сложная и требующая серьезных расчетов методика предполагает распределение на листе кругов. Так поступает Роберт Лэнг».

Это далеко не полный список современных методов моделирования оригами. Они ознаменовали собой настоящий переворот и вывели древнюю традицию на новый уровень. Работы усложнились, и теперь оригами по праву можно назвать искусством.

Проводится даже мировой конкурс оригами, названный в честь французского мастера Эрика Жуазеля — ​The Joisel Award. Принимая заявки конкурсантов, организаторы просят их ответить самим себе на несколько вопросов, один из которых: «Стану ли я считать эту работу произведением искусства, если она будет создана не из бумаги? Сама фигура создает художественный эффект или тот факт, что скульптура сделана из сложенной бумаги?» Бумажная скульптура достигла того уровня, когда можно не делать скидку на ограничения материала. Работы таких художников, как Эрик Жуазель, Хоанг Тьен Къет, Роберт Лэнг, Роман Диас, Сатоши Камия, Имай Кота, регулярно выставляются в музеях и галереях по всему миру.

«В России тоже много достойных мастеров. Мне, например, очень нравятся работы Павла Никульшина, Мадияра Амеркешева, Николая Куприянова и многих других. Когда смотришь на их скульптуры, видишь не только мастерство, но и идею. Есть компьютерные программы, помогающие проектировать фигуры, но они не решают главную задачу художника — ​понять, что́ именно ты хочешь сделать, какую историю рассказать. Даже если оставить в стороне высокое искусство, мой опыт преподавания оригами подсказывает, что складывание бумаги — ​своего рода медитативный процесс, помогающий людям испытать радость от созидания и открыть в себе что-то новое», — ​делится В. Серова.

Акира Есидзава в одной из книг написал: «Когда вы складываете бумагу, ритуал и акт творения важнее, чем результат. Когда ваши руки заняты, ваше сердце безмятежно». Мне кажется, что 11 ноября — ​прекрасный день для того, чтобы найти инструкцию и сложить из бумаги какую-­нибудь фигуру. Безмятежность сегодня дорого стоит, а бумага — ​такой дешевый материал! Почему бы не попробовать?
Башни «Аль-Бахар», Абу-­Даби (ОАЭ). Инженеры решили защитить 145‑метровые башни кинетическим фасадом: конструкция состоит из треугольников, меняющих конфигурацию по принципу оригами и таким образом контролирующих поток солнечного света, проникающего внутрь
ДРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ