Математик из НИУ ВШЭ и Института проблем передачи информации РАН Иван Ремизов совершил прорыв в теории дифференциальных уравнений. Ученый предложил универсальную формулу для решения задач, которые более 190 лет считались не имеющими аналитического решения. Результаты его работы опубликованы во Владикавказском математическом журнале.
В школьном курсе алгебры поиск неизвестной величины давно автоматизирован: для того чтобы найти корни квадратного уравнения, достаточно подставить коэффициенты в формулу через дискриминант. Однако большая наука имеет дело с уравнениями более высокого уровня — дифференциальными. Они описывают не статические состояния, а процессы — от колебаний маятника и движения планет до распространения сигналов в электросетях.
Еще в XIX веке математик Жозеф Лиувилль доказал: решения таких уравнений нельзя выразить через коэффициенты с помощью конечного набора элементарных действий. С тех пор считалось, что общей формулы не существует.
И. Ремизов нашел изящное решение проблемы, не вступая в противоречие с Ж. Лиувиллем. Он расширил набор инструментов, добавив к стандартным операциям нахождение предела последовательности. Это позволило создать формулу, в которую можно подставить переменные коэффициенты и получить искомую функцию.
«Представьте, что искомое решение — это картина. Рассмотреть ее целиком невозможно. Теорема позволяет „нарезать“ процесс на простые кадры, а затем собрать из них единое изображение», — объясняет ученый.
Работа имеет большое значение для физики. Дифференциальные уравнения лежат в основе описания специальных функций (Матье, Хилла), используемых для расчетов движения протонов в коллайдере и траекторий спутников. Новый подход позволяет выражать эти функции напрямую через коэффициенты уравнений. Кроме того, исследование связало классическую математику с квантовой физикой, представив решение в виде, аналогичном интегралам нобелевского лауреата Ричарда Фейнмана.